Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и его решения


Математика примеры решения заданий курсовой работы

 

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл. Из формулы Грина  следует неожиданный результат: если функции Р и Q удовлетворяют условию , то   ( - площадь области D). Таким образом, площадь области можно выразить через криволинейный интеграл второго рода по границе этой области. В качестве функций Р и Q можно взять любые непрерывно дифференцируемые функции, такие что , например, ; ; ;  и т.д. В результате  и т.д. При этом контур С (граница области D) обходится в положительном направлении. Чаще всего применяется третья из этих формул. Для примера найдём площадь, ограниченную эллипсом . Параметрические уравнения эллипса , поэтому ; это, видимо, самый простой способ вычисления площади эллиптической области. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

16.4. Поверхностные интегралы.

16.4.1. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности. Поверхность может быть односторонней и двусторонней. Простой пример модели односторонней поверхности - лист Мёбиуса, который получается, если взять узкую длинную полоску бумаги и склеить её узкие торцы, перекрутив полоску один раз. В том, что у полученной поверхности одна сторона, можно убедиться, если начать закрашивать её в какой-нибудь цвет, не отрывая кисть от бумаги и не пересекая границ. В результате будет окрашен весь лист Мёбиуса. Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности.

Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно меняющаяся вдоль поверхности. Поверхность называется кусочно-гладкой, если она состоит из нескольких гладких частей, примыкающим друг к другу по гладким или кусочно- гладким кривым. Так, плоскость - гладкая поверхность; поверхность куба - кусочно-гладка.

Дадим формальное определение односторонней и двусторонней поверхностей. Пусть дана гладкая поверхность , и на ней произвольно выбрана точка М. Из двух возможных направлений нормали в этой точке выберем одно и зафиксируем его. Характеризовать это направление будем единичным вектором нормали . Возьмём замкнутый контур С, проходящий через точку М, целиком лежащий в  и не пересекающий её границы, и будем двигаться по контуру, восстанавливая в каждой точке нормаль так, чтобы она непрерывно получалось из . Если для любого такого контура и любой точки М мы вернёмся в М с исходным направлением нормали, то поверхность  называется двусторонней. Если хотя бы для одного контура мы вернёмся в исходную точку с противоположным направлением нормали, то поверхность называется односторонней.

Задать ориентацию поверхности (выбрать определённую сторону поверхности) означает выбрать в каждой точке  один из двух возможных векторов нормали  так, чтобы он непрерывно менялся от точки к точке. Для этого достаточно определить нормаль  в какой-либо одной точке ; во всех остальных точках М направления нормали  должны браться так, чтобы они получались непрерывным переносом из  вдоль какого-нибудь пути . Согласно определению двусторонней поверхности, мы гарантированно придём в точку  с одним и тем же направлением нормали при любом пути .

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. - 5-е изд., перераб. и доп. -М.: Дрофа. Т.1. - 2003.-703 с. 3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. - 6-е изд. стер. -М. Физматлит, 2002, -646 с. 4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей