Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и его решения


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай. Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости Оху, и задаётся функцией , то, рассматривая х как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла: . Аналогично, если кривая задаётся уравнением , то .

Пример. Вычислить , где  - четверть окружности , лежащая в четвёртом квадранте.

Решение. 1. Рассматривая х как параметр, получаем  , поэтому

.

2. Если за параметр взять переменную у, то   и .

Естественно, можно взять обычные параметрические уравнения окружности  : .

Если кривая задана в полярных координатах , то , и .

16.3.2.4. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

16.3.2.4.1. Масса m материальной кривой  с плотностью m(x,y,z) вычисляется по формуле .

Пример. Найти массу четверти лемнискаты , если плотность выражается формулой m(x,y)=.

Решение:  , поэтому

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими отношениями:

.

Возьмем в качестве цилиндрические координаты ,,и вычислим якобиан преобразования:

.

Формулы замены переменных (8.4) принимает вид

  (8.5)

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по , по и по аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. - 5-е изд., перераб. и доп. -М.: Дрофа. Т.1. - 2003.-703 с. 3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. - 6-е изд. стер. -М. Физматлит, 2002, -646 с. 4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей