Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и его решения


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл вычисляется переходом к повторному. Рассмотрим ряд примеров.

.

Здесь область D (которую обязательно надо изобразить на чертеже) правильна в направлении обеих осей, поэтому вычисления по обеим формулам перехода имеют одинаковую трудоёмкость:

;

.

 2. .

Здесь область D тоже правильна в направлении обеих осей, однако верхняя граница состоит из двух кусков: , поэтому первый из повторных интегралов будет содержать два слагаемых:

;

Этот пример проще решается по второй формуле.

3. .

Здесь переход к повторному интегралу по формуле  бессмысленен, так как внутренний интеграл не берётся, в то же время второй повторный интеграл вычисляется без проблем:

4.

Здесь область D ограничена окружностью радиуса а, сдвинутой на а единиц по оси Ох. Уравнения для правой, левой, верхней и нижней полуокружностей приведены на рисунке. Повторные интегралы в декартовых координатах

,  можно вычислить, но это достаточно трудоёмко. Попробуем перейти к полярным координатам (это имеет смысл, так как и подынтегральная функция, и кривая, ограничивающая D зависят от выражения x 2 + y 2 = r 2). Переход к полярным координатам в уравнении окружности даёт , или . Это и есть уравнение границы в полярных координатах. Итак,

Ответ явно неправильный. Мы должны получить объём тела, расположенного в полупространстве , ограниченного цилиндром

x2 + y2 = 2ax и сферой  радиуса 2a сверху; в то время как получили половину объём верхнего полушара (рисунок справа). С такой ситуацией мы уже встречались, когда рассматривали приложения определённого интеграла. Ошибка делается, когда выражение  заменяется на , а не на . Дальше необходимо отдельно рассматривать интервалы  и . Избежать это можно, если воспользоваться симметрией и области, и подынтегральной функции относительно оси Ох, т.е. вычислять удвоенный интеграл по половине круга :

 

Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей