Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и его решения


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Аналогичным образом область D, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси Oх, можно описать неравенствами . Функция  образована левыми точками пересечения прямой y = y0 при  с границей области D, функция  - правыми точками пересечения этой прямой с границей области D.

 Для правильной области (т.е. области, правильной в направлении обеих осей) существуют оба способа представления: и , и .

Двукратный (повторный) интеграл. Пусть D - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от   до  получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:

.

Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:

Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь областиD: ;

теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться - это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область D разбита на две подобласти D1 и D2 прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области D равен сумме интегралов по D1 и D2: J(D) = J(D1) + J(D2).

  Первый случай: прямая x = a1 параллельна оси Oy. Тогда   (аддитивность внешнего интеграла) = J(D1) + J(D2).

 Второй случай: прямая y = c1 параллельна оси Oх. Воспользуемся сначала аддитивностью внешнего интеграла:

 

 
(теперь применим свойство аддитивности для внутреннего интеграла в среднем слагаемом) =  (применяем свойство линейности для внешнего интеграла в среднем слагаемом и перегруппировываем сумму)=

(первая фигурная скобка даёт повторный интеграл по D1, второй – по D2 = J(D1) + J(D2).

 Понятно, что воэможны различные случаи взаимного расположения прямых y = c1, x = a1, x = a2 и функций , , но логика доказательства во всех случаях такая же.

  Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область D на две подобласти  D1,1 и D1,2. Проведём ещё одну прямую, параллельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает D1,1 на D1 и D2; D1,2 - на D3 и D4. По доказанному, J(D1,1) = J(D1) + J(D2), J(D1,2) = J(D3) + J(D4), поэтому J(D) = J(D1,1) + J(D1,2) = J(D1) + J(D2) + J(D3) + J(D4). Продолжая рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область D с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти D1, D2, …, Dn, то .

Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей