Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и его решения


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Свойства двойного интеграла.

. Линейность. Если функции f(x, y), g(x, y) интегрируемы по области D, то их линейная комбинация  тоже интегрируема по области D, и  .

Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство   . Переходя к пределу при  и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе 4.4.6. Арифметические действия с пределами (конкретно, свойствами 4.4.10.1 и 4.4.10.2), получим требуемое равенство.

Аддитивность. Если область D является объединением двух областей D1 и D2, не имеющих общих внутренних точек, то .

Док-во. Пусть область D1 разбита на подобласти D1,1, D1,2, …, D1, n1; область D2 разбита на подобласти D2,1, D2,2, …, D2, n2. Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области D:  на n1 + n2 подобластей. Интегральная сумма по области D равна сумме сумм по областям D1 и D2: . Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при , получим требуемое равенство.

Интеграл от единичной функции по области D равен площади этой области: .

Док-во: Для любого разбиения , т.е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек Pi. Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому .

16.1.3.4. Интегрирование неравенств. Если в любой точке  выполняется неравенство , и функции f(P), g(P) интегрируемы по области D, то .

 Док-во. В любой точке  выполняется неравенство , поэтому . По теореме о переходе к пределу в неравенствах отсюда следует требуемое утверждение.

Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т.е. совершается преобразование переменных.

Пусть совершена подстановка , ,.

Если эти функции имеют в некоторой области  пространства непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель

,

то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

.  (8.4)

Здесь - определитель Якоби, или якобиан преобразования (примем без доказательства).

Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.

Положение точки  в пространстве  можно определить заданием трех чисел , ,, где - длина радиуса – вектора проекции точки М на плоскость , - угол, образованный этим радиусом вектором с осью , -аппликата точки М (см. рис. 15).

 Рис.15

Эти три числа (,, ) называются цилиндрическими координатами точки М.

Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей